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§Ú们¨D¸Ñ¥X导­P²Ö积误®t³Ì¤pªº参数§Y¥i¡C

\begin{eqnarray}\label{least-square-error}\begin{array}{lll}\hat{\beta}&=&\displaystyleargmin_{\beta}\sum_{i=1}^ne_i^2\\&=&\displaystyleargmin_{\beta}\sum_{i=1}^n[y_i-(\beta_0+\beta_1x_{1i}+\cdots+\beta_px_{pi})]^2\end{array}\end{eqnarray}

°Ç让¼w¦b论¤å¤¤对³Ì¤p¤G­¼ªkªºÉ¬¨}©Ê°µ¤F¤L点说©ú¡G

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¨D¸Ñ\theta¨Ï±oL(\theta)达¨ì³Ì¤p¡A¥¿¦n¬Oºâ术¥­§¡\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}¡C

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¥|¡B众¨½寻¦o¤d¦Ê«×¡A误®t¤À¥¬¦±线ªºÚÌ¥ß

²Ä¤T个¬G¨Æ¦³点长¡A¥D¨¤¬O°ª´µ©M©Ô´¶©Ô´µ¡A¬G¨Æªº¥D­n内®e¬O²q测¤W«Òªº³yª«ªº¦®·N¡A寻§ä随Éó误®t¤À¥¬ªº规«ß¡C

¤Ñ¤å学¬O²Ä¤@个³Q测¶q误®t§xÊðªº学¬ì¡A从¥j¥N¦Ü¤Q¤K¥@纪¤Ñ¤å学¤@ª½¬O应¥Î数学³Ì发达ªº领°ì¡A¨ì¤Q¤K¥@纪¡A¤Ñ¤å学ªº发®i积²Ö¤F¤j¶qªº¤Ñ¤å学数Õu»Ý­n¤ÀªR计ºâ¡A应该¦p¦ó来处²z数Õu¤¤ªº观测误®t¦¨为¤@个«Ü´Æ¤âªº问题¡C§Ú们¦b数Õu处²z¤¤经±`¨Ï¥Î¥­§¡ªº±`识©Êªk则¡A¤d¦Ê来来ªº数Õu¨Ï¥Î经验说©úºâ术¥­§¡¯à°÷®ø°£误®t¡A´£°ªºë«×¡C¥­§¡¦³¦p¦¹ªº¾y¤O¡A¹D²z¦ó¦b¡A¤§«e没¦³¤H°µ过²z论¤Wªº证©ú¡Cºâ术¥­§¡ªº¦X²z©Ê问题¦b¤Ñ¤å学ªº数Õu¤ÀªR¤u§@¤¤³Q´£¥X来讨论¡G测¶q¤¤ªº随Éó误®tªA应该ªA从«ç¼Ëªº·§²v¤À¥¬¡Hºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê©M误®tªº¤À¥¬¦³«ç¼Ëªº±K¤Á联¨t¡H

¦÷§Q²¤¦b¥LµÛ¦Wªº¡m关¤_两个¥D­n¥@¬É¨t统ªº对话¡n¤¤¡A对误®tªº¤À¥¬°µ过¤@¨Ç©w©Êªº´y­z¡A¥D­n¥]¬A¡G

误®t¬O对称¤À¥¬ªº;
¤jªº误®t¥X现频²v§C¡A¤pªº误®t¥X现频²v°ª¡C
¥Î数学ªº语¨¥´y­z¡A¤]´N¬O说误®t¤À¥¬¨ç数f(x)关¤_0对称¤À¥¬¡A·§²v±K«×随|x|¼W¥[¦Ó´î¤p¡A这两个©w©Êªº´y­z³£«Ü²Å¦X±`识¡C

许¦h¤Ñ¤å学®a©M数学®a开©l¤F寻§ä误®t¤À¥¬¦±线ªº尝试¡CThomasSimpson(1710-1761)¥ý¨«¥X¤F¦³·N¸qªº¤@¨B¡C设¯u­È为\theta¡Ax_1¡A\cdots¡Ax_n为n¦¸测¶q­È¡A¨C¦¸测¶qªº误®t为e_i=x_i-\theta¡A­Y¥Îºâ术¥­§¡\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}¥h¦ô计\theta¡A¨ä误®t为\bar{e}=\frac{\sum_{i=1}^ne_i}{n}¡CSimpson证©ú¤F¡A对¤_¦p¤Uªº¤@个·§²v¤À¥¬¡A


¡iSimpsonªº误®t态¤À¥¬¦±线¡j

¦³

¤]´N¬O说¡A|\bar{e}|¬Û¤ñ¤_|e_1|¨ú¤p­ÈªºÉó会§ó¤j¡CSimpsonªº这个¤u§@«Ü²ÊÁW¡A¦ý¬O这¬O²Ä¤@¦¸¦b¤@个¯S©w±¡ªp¤U¡A从·§²v论ªº¨¤«×严®æ证©ú¤Fºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê¡C

从1772-1774¦~¡A©Ô´¶©Ô´µ¤]¥[¤J¨ì¤F寻§ä误®t¤À¥¬¨ç数ªº队¥î¤¤¡C©Ô´¶©Ô´µ°²©w误®t¤À¥¬¨ç数f(x)满¨¬¦p¤U©Ê质

¥Ñ¦¹³Ì终¨D±oªº¤À¥¬¨ç数为

这个¨ç数现¦b³Q称为©Ô´¶©Ô´µ¤À¥¬¡C

¡iLaplaceªº误®t态¤À¥¬¦±线¡j

¥H这个¨ç数§@为误®t¤À¥¬¡A©Ô´¶©Ô´µ开©l¦Ò虑¦p¦ó°ò¤_测¶qªº结ªG¥h¦ô计¥¼ª¾参数ªº­È¡C©Ô´¶©Ô´µ¥i¥Hºâ¬O¤@个贝¸­´µ¥D¸qªÌ¡A¥Lªº参数¦ô计ªº­ì则©M现¥N贝¸­´µ¤èªk«D±`¬Û¦ü¡A°²设¥ý验¤À¥¬¬O§¡匀ªº¡A计ºâ¥X参数ªº¦Z验¤À¥¬¦Z¡A¨ú¦Z验¤À¥¬ªº¤¤­È点¡A§Y1/2¤À¦ì点¡A§@为参数¦ô计­È¡C¥i¬O°ò¤_这个误®t¤À¥¬¨ç数°µ¤F¤@¨Ç计ºâ¤§¦Z¡A©Ô´¶©Ô´µ发现计ºâ过¤_Î`杂¡A³Ì终没¯à给¥X¤°¤\¦³¥Îªº结ªG¡C

©Ô´¶©Ô´µ¥i¬O·§²v论ªº¤j¤û¡A写过两¥»Ì妳¼v响¤Oªº¡m·§²v¤ÀªR²z论¡n¡A¤£过¥H§Úªº数学审¬ü¡A实¦bµLªk²z¸Ñ©Ô´¶©Ô´µ这¼Ëªº¤j¤û«ç¤\§ä¤F¤@个¹s点¤£¥i导ªº误®tªº¤À¥¬¨ç数¡A©Ô´¶©Ô´µ³Ì终还¬O没¯à·d©w误®t¤À¥¬ªº问题¡C

现¦b轮¨ì°ª´µµn场¤F¡A°ª´µ¦b数学¥v¤¤ªº¦a¦ìÌå°ª¡A号称数学¥v¤Wªºª°¯W¡A数学®aªü贝º¸对¥Lªº评论¬O"Heislikethefox¡Awhoeffaceshistracksinthesandwithhistail."§Ú们ªº数学¤j师陈¬Ù¨­§â¾¤°Ò©M庞¥[莱称为数学®a¤¤ªºµÐ萨¡A¦Ó称¦Û¤v为罗º~¡F°ª´µ¬O¾¤°Òªº导师¡A数学°é¨½¦³¨Ç±Ð±Â§â°ª´µ称为数学®a¤¤ªº¦ò¡C¦b数学®a¤¤¤W¬J¯à¥õ±æ²z论数学ªº¬PªÅ¡A¤S¯à脚½ñ应¥Î数学ªº实¦aªº¥i¤£¦h见¡A°ª´µ¬O数学®a¤¤¤Ö¦³ªº顶¡¨¤Ñ¡§¥ß¡¨¦a¡§ªº¤Hª«¡A¥¦¬J对纯²z论数学¦³²`¨èªº¬}¹î¤O¡A¤SÌå¨ä­«视数学¦b实践¤¤ªº应¥Î¡C¦b误®t¤À¥¬ªº处²z¤¤¡A°ª´µ¥H¤Î¨ä简单ªº¤âªkÚ̥ߤF随Éó误®tªº·§²v¤À¥¬¡A¨ä结ªG¦¨为数²z统计发®i¥v¤Wªº¤@块¨½µ{¸O¡C

°ª´µªº¤¶¤J­º¥ý­n从¤Ñ¤å学¬Éªº¤@个¨Æ¥ó说°_¡C1801¦~1¤ë¡A¤Ñ¤å学®aGiuseppePiazzi发现¤F¤@颗从¥¼见过ªº¥ú«×8µ¥ªº¬P¦b²¾动¡A这颗现¦b³Q称§@¨¦¯«¬P¡]Ceres¡^ªº¤p¦æ¬P¦b©]ªÅ¤¤¥X现6个¬P´Á¡A扫过¤K«×¨¤¦Z¦b´N¦b¤Ó阳ªº¥ú¨~¤U没¤F踪¼v¡AµLªk观测¡C¦Ó¯d¤Uªº观测数Õu¦³­­¡A难¥H计ºâ¥X¥Lªº轨¹D¡A¤Ñ¤å学®a¤]¦]¦¹µLªkÚÌ©w这颗·s¬P¬O±k¬P还¬O¦æ¬P¡A这个问题«Ü§Ö¦¨¤F学术¬É关ª`ªºµJ点¡C°ª´µ当时¤w经¬O«Ü¦³¦W±æªº¦~轻数学®a¤F¡A这个问题¤Þ°_¤F¥Lªº兴½ì¡C°ª´µ¥H¨ä¨ô¶Vªº数学¤~¯à创¥ß¤F¤@Ïú崭·sªº¦æ¬P轨¹Dªº计ºâ¤èªk¡A¤@个¤p时¤§内´N计ºâ¥X¤F¦æ¬Pªº轨¹D¡A¦}预¨¥¤F¥L¦b©]ªÅ¤¤¥X现ªº时间©M¦ì¸m¡C1801¦~12¤ë31¤é©]¡A¼w国¤Ñ¤å爱¦nªÌ奥§B´µ(HeinrichOlbers)¡A¦b°ª´µ预¨¥ªº时间¨½¡A¥Î±æ远镜对­ã¤F这¤ù¤ÑªÅ¡CªGµM¤£¥X©Ò®Æ¡A¨¦¯«¬P¥X现¤F¡I

°ª´µ为¦¹¦W声¤j¾_¡A¦ý¬O°ª´µ当时©Ú绝³zÅS计ºâ轨¹Dªº¤èªk¡A­ì¦]¥i¯à¬O°ª´µ认为¦Û¤vªº¤èªkªº²z论°ò础还¤£°÷¦¨¼ô¡A¦Ó°ª´µ¤@¦Vªv学严谨¡Bºë¯q¨Dºë¡A¤£轻©ö发ªí没¦³«ä¦Ò¦¨¼ôªº²z论¡Cª½¨ì1809¦~°ª´µ¨t统¦a§¹µ½¤F¬Û关ªº数学²z论¦Z¡A¤~将¥Lªº¤èªk¤½¥¬¤_众¡A¦Ó¨ä¤¤¨Ï¥Îªº数Õu¤ÀªR¤èªk¡A´N¬O¥H¥¿态误®t¤À¥¬为°ò础ªº³Ì¤p¤G­¼ªk¡C¨º°ª´µ¬O¦p¦ó±À导¥X误®t¤À¥¬为¥¿态¤À¥¬ªº¡H让§Ú们¬Ý¬Ý°ª´µ¬O¦p¦ó²q测¤W«Òªº·N图ªº¡C

设¯u­È为\theta¡Ax_1¡A\cdots¡Ax_n为n¦¸独¥ß测¶q­È¡A¨C¦¸测¶qªº误®t为e_i=x_i-\theta¡A°²设误®te_iªº±K«×¨ç数为f(e)¡A则测¶q­Èªº联¦X·§²v为n个误®tªº联¦X·§²v¡A记为

\begin{equation}L(\theta)=L(\theta;x_1¡A\cdots¡Ax_n)=f(e_1)\cdotsf(e_n)=f(x_1-\theta)\cdotsf(x_n-\theta)\end{equation}

¦ý¬O°ª´µ¤£ªö¥Î贝¸­´µªº±À²z¤è¦¡¡A¦Ó¬Oª½±µ¨úL(\theta)达¨ì³Ì¤j­Èªº\hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1¡A\cdots¡Ax_n)§@为\thetaªº¦ô计­È¡A§Y


现¦b§Ú们§âL(\theta)称为¼Ë¥»ªº¦üµM¨ç数¡A¦Ó±o¨ìªº¦ô计­È\hat{\theta}称为Ìå¤j¦üµM¦ô计¡C°ª´µ­º¦¸给¥X¤FÌå¤j¦üµMªº«ä·Q¡A这个«ä·Q¦Z来³Q统计学®aR.A.Fisher¨t统ªº发®i¦¨为参数¦ô计¤¤ªºÌå¤j¦üµM¦ô计²z论¡C

°ª´µ±µ¤U来ªº·Qªk¯S别¤û¡A¥L开©l´¢«×¤W«Òªº·N图¡A¦Ó这¥R¤ÀÊ^现¤F°ª´µªº数学¤Ñ¤~¡C°ª´µ§â¾ã个问题ªº«ä¦Ò¼Ò¦¡­Ë过来¡G¬JµM¤d¦Ê¦~来¤j®a³£认为ºâ术¥­§¡¬O¤@个¦nªº¦ô计¡A¨º§Ú´N认为Ìå¤j¦üµM¦ô计导¥Xªº´N应该¬Oºâ术¥­§¡¡I©Ò¥H°ª´µ²q测¤W«Ò¦b创¥@纪¤¤ªº¦®·N´N¬O¡G

误®t¤À¥¬导¥XªºÌå¤j¦üµM¦ô计=ºâ术¥­§¡­È

µM¦Z°ª´µ¥h§ä误®t±K«×¨ç数f¥Hªï¦X这¤@点¡C§Y寻§ä这¼Ëªº·§²v¤À¥¬¨ç数f¡A¨Ï±oÌå¤j¦üµM¦ô计¥¿¦n¬Oºâ术¥­§¡\hat{\theta}=\bar{x}¡C¦Ó°ª´µ应¥Î数学§Þ¥©¨D¸Ñ这个¨ç数f¡A°ª´µ证©ú(证©ú¤£难¡A¦Z续给¥X)¡A©Ò¦³ªº·§²v±K«×¨ç数¤¤¡A°ß¤@满¨¬这个©Ê质ªº´N¬O

Á@¡A¥¿态¤À¥¬ªº±K«×¨ç数N(0¡A\sigma^2)³Q°ª´µ¥L¦Ñ¤H®a给¸Ñ¥X来¤F¡I

¡i¥¿态误®t态¤À¥¬«ß¡j

进¤@¨B¡A°ª´µ°ò¤_这个误®t¤À¥¬¨ç数对³Ì¤p¤G­¼ªk给¥X¤F¤@个«Üº}«Gªº¸Ñ释¡C对¤_¨C个误®te_i¡A¦³e_i\simN(0¡A\sigma^2)¡A则(e_1¡A\cdots¡Ae_n)ªº联¦X·§²v¤À¥¬为

­n¨Ï±o这个·§²v³Ì¤j¡A¥²须¨Ï±o\sum_{i=1}^ne_i^2¨ú³Ì¤p­È¡A这¥¿¦n´N¬O³Ì¤p¤G­¼ªkªº­n¨D¡C

°ª´µ©Ò©Ý®iªº³Ì¤p¤G­¼ªk¦¨为¤F¤Q¤E¥@纪统计学ªº³Ì­«­n¦¨´N¡A¥¦¦b¤Q¤E¥@纪统计学ªº­«­n©Ê´N¬Û当¤_¤Q¤K¥@¬öªº·L积¤À¤§¤_数学¡C¦Ó°Ç让¼w©M³Ì¤p¤G­¼ªºªº发©ú权¤§争¡A¦¨¤F数学¥v¤W仅¦¸¤_¤û顿¡B莱¥¬¥§¯ý·L积¤À发©úªº争ºÝ¡C¬Û¤ñ¤_°Ç让¼w1805给¥Xªº³Ì¤p¤G­¼ªk´y­z¡A°ª´µ°ò¤_误®t¥¿态¤À¥¬ªº³Ì¤p¤G­¼²z论显µM§ó°ª¤@筹¡A°ª´µªº¤u§@¤¤¬J´£¥X¤FÌå¤j¦üµM¦ô计ªº«ä·Q¡A¤S¸Ñ¨M¤F误®tªº·§²v±K«×¤À¥¬ªº问题¡A¥Ñ¦¹§Ú们¥i¥H对误®tªº¤j¤pªº¼v响进¦æ统计«×¶q¤F¡C°ª´µªº这项¤u§@对¦Z¥@ªº¼v响Ìå¤j¡A¦Ó¥¿态¤À¥¬¤]¦]¦¹³Q«a¦W°ª´µ¤À¥¬¡C¦ô计°ª´µ¥»¤H当时¬O§¹¥þ没¦³·N识¨ì¥Lªº这个¤u§@给现¥N数²z统计学带来ªº²`¨è¼v响¡C°ª´µ¦b数学¤Wªº贡Äm¯S¦h¡A¥h¥@«e¥L¬O­n¨D给¦Û¤vªº¹Ó¸O¤WÀJ¨è¤W¥¿¤Q¤C边§Î¡A¥H说©ú¥L¦b¥¿¤Q¤C边§Î¤Ø规§@图¤WªºªN¥X¤u§@¡C¦Ó¦Z¥@ªº¼w国钞²¼©M钢镚¤W¬O¥H¥¿态±K«×¦±线来纪©À°ª´µ¡A这¨¬¥H说©ú°ª´µªº这项¤u§@¦b当¥N¬ì学发®i¤¤ªº¤À¶q¡C

17-18¥@纪¬ì学¬É¬y¦æªº°µªk¡A¬O尽¥i¯à从¬YÏú简单©ú¤Fªº­ã则(firstprinciple)¥X发进¦æ±À导¡A°ª´µ设©wªº­ã则¡§³Ì¤j¦üµM¦ô计应该导¥Xɬ¨}ªººâ术¥­§¡¡¨¡A¦}导¥X¤F误®tªA从¥¿态¤À¥¬¡A±À导ªº§Î¦¡¤W«D±`简ϡɬ¬ü¡C¦ý¬O°ª´µ给ªº­ã则¦b逻辑¤W¦}¤£¨¬¥H让¤H§¹¥þ«HªA¡A¦]为ºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê当时§ó¦hªº¬O¤@个ª½觉经验¡A¯Ê¥F严®æªº²z论¤ä«ù¡C°ª´µªº±À导¦s¦b´`环论证ªº¨ý¹D¡G¦]为ºâ术¥­§¡¬Oɬ¨}ªº¡A±À¥X误®t¥²须ªA从¥¿态¤À¥¬¡F¤Ï过来¡A¤S°ò¤_¥¿态¤À¥¬±À导¥X³Ì¤p¤G­¼©Mºâ术¥­§¡¡A来说©ú³Ì¤p¤G­¼ªk©Mºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê¡C这³´¤J¤F¤@个鸡¥Í³J³J¥Í鸡ªº©Ç°é¡A逻辑¤Wºâ术¥­§¡ªºÉ¬¨}©Ê¨ì©³¦³没¦³¦Û¦æ¦¨¥ßªº²z¥Ñ©O¡H

°ª´µªº¤å³¹发ªí¤§¦Z¡A©Ô´¶©Ô´µ«Ü§Ö±oª¾¤F°ª´µªº¤u§@¡C©Ô´¶©Ô´µ¬Ý¨ì¡A¥¿态¤À¥¬¬J¥i¥H从§@为抛钢镚产¥Íªº§Ç¦C©M¤¤¥Í¦¨¥X来¡A¤S¥i¥H³Qɬ¶®ªº§@为误®t¤À¥¬©w«ß¡A这难¹D¬O°¸µM现¶H¡H©Ô´¶©Ô´µ¤£·\为·§²v论ªº¤j¤û¡A¥L马¤W将误®tªº¥¿态¤À¥¬²z论©M¤¤¤ßÌå­­©w²z联¨t°_来¡A´£¥X¤F¤¸误®t¸Ñ释¡C¥L«ü¥X¦pªG误®t¥i¥H¬Ý¦¨许¦h¶qªº曡¥[¡A则®ÚÕu¥Lªº¤¤¤ßÌå­­©w²z¡A则随Éó误®t²z©Ò应当¬O°ª´µ¤À¥¬¡C¦Ó20¥@纪¤¤¤ßÌå­­©w²zªº进¤@¨B发®i¡A¤]给这个¸Ñ释´£¨Ñ¤F§ó¦hªº²z论¤ä«ù¡C¦]¦¹¦³¤F这个¸Ñ释为¥X发点¡A°ª´µªº´`环论证ªº°é¤l´N¥i¥H¥´¯}¡C¦ô计©Ô´¶©Ô´µ®©¥X这个结论¤§¦Z¤@©w·Q¼²墙¡A¦Û¤v¨¯¨¯­W­W寻寻觅觅¤F这¤\¤[ªº误®t¤À¥¬¦±线´N¦b¦Û¤vªº²´¥Ö©³¤U¡A¦Û¤v«o长¦~来视¦Ó¤£见¡A³Q°ª´µ给¥e¤F¥ýÉó¡C

¦Ü¦¹¡A误®t¤À¥¬¦±线ªº寻§ä尘®J¸¨©w¡A¥¿态¤À¥¬¦b误®t¤ÀªR¤¤Ú̥ߤF¦Û¤vªº¦a¦ì¡A开©l¦}¦b¾ã个19¥@纪¤£断ªº开æ扩¤g¡Aª½¦Ü¦b统计学¤¤鹤¥ß鸡¸s¡A¶Æ¥@¨ä¥¦¤@¤Á·§²v¤À¥¬¡F¦Ó°ª´µ©M©Ô´¶©Ô´µªº¤u§@¡A为现¥N统计学ªº发®i开±Ò¤F¤@®°¤j门¡C

¦b¾ã个¥¿态¤À¥¬³Q发现ÉO应¥Îªº历¥v¤¤¡A´Ð²ö¥±¡B©Ô´¶©Ô´µ¡B°ª´µ¦U¦³贡Äm¡A©Ô´¶©Ô´µ从¤¤¤ßÌå­­©w²zªº¨¤«×¸Ñ释¥¦¡A°ª´µ§â¥¦应¥Î¦b误®t¤ÀªR¤¤¡A®í³~¦P归¡C¥¿态¤À¥¬³Q¤H们发现¦³这¤\¦nªº©Ê质¡A¦U国¤H¥Á³£争抢¥Lªº«a¦W权¡C¦]为Laplace¬Oªk国¤H¡A©Ò¥H当时¦bªk国³Q称为©Ô´¶©Ô´µ¤À¥¬;¦Ó°ª´µ¬O¼w国¤H¡A©Ò¥H¦b¼w国¥s°µ°ª´µ¤À¥¬¡F²Ä¤T¤¤¥ß国ªº¤H¥Á称¥L为©Ô´¶©Ô´µ-°ª´µ¤À¥¬¡C¦Z来ªk国ªº¤j数学®a庞¥[莱(HenriPoincaré)«Ø议§ï¥Î¥¿态¤À¥¬这¤@¤¤¥ß¦W称¡A¦Ó随¦Z统计学®a¥dº¸.¥Öº¸´Ë¨Ï±o这个¦W称³Q¼sªx±µ¨ü¡G

Many years ago Icalled the LaplaceGaussian curve the normal curve¡Awhichname¡Awhile it avoid saninternational question of priority¡Ahas the disadvantage of leading people to believe that all other distributions of frequency are inonesense or another"abnormal".}

-KarlPearson(1920)

¤£过¦]为°ª´µ¦b数学®a¤¤ªº¦WÉa¬O¦b¤Ó¤j¡A¥¿态¤À¥¬ªº®Û«a还¬O§ó¦hªº³QÀ¹¦b¤F°ª´µªº脑门¤W¡A¥Ø«e数学¬É³q¦æªº¥Î语¬O¥¿态¤À¥¬°ª´µ¤À¥¬¡A两ªÌ¦}¥Î¡C

¥¿态¤À¥¬¦b°ª´µªº±À动¤U¡A¨³³t¦b测¶q误®t¤ÀªR¤¤³Q¼sªx¨Ï¥Î¡AµM¦Ó¦­´Á¤]仅­­¤_测¶q误®tªº¤ÀªR¤¤¡A¨ä­«¥Î©Ê远没¦³³Q¦ÛµM¬ì学©MªÀ会¬ì学领°ì¤¤ªº¤H们©Ò认识¡A¨º¥¿态¤À¥¬¬O¦p¦ó从测¶q误®t¤ÀªRªº¤p·Ë¡A¨R¦V¦ÛµM¬ì学©MªÀ会¬ì学ªº¨L¬v¤j®üªº©O¡H


(¤­)¦±径³q«Õ处¡A禅©Ðªá¤ì²`¡A¥¿态¤À¥¬ªº¦UÏú±À导

¦b¤¶绍¥¿态¤À¥¬ªº¦Z续发®i¤§«e¡A§Ú们来¦h讲¤@点数学¡A¤]许¦³¨Ç¤H会觉±o¬\Àê¡A¤£过°ª´µ´¿经说过¡G¡§数学¬O¤W«Òªº语¨¥¡¨¡C©Ò¥H­n·Q§ó¥[²`¤Jªº²z¸Ñ¥¿态¤À¥¬ªº¬ü¡A°ß¦³³q过¤W«Òªº语¨¥¡C

³yª«¥D³yª«ªº­ã则©¹©¹¬O简单©ú¤Fªº¡A¥u¬O¦b纷Ác芜杂ªºÉEª«¤§¤¤¡A§Ú们­n发现¦}领会¥¦¦}«D©ö¨Æ¡C¤§«e´£¨ì过¡A17-18¥@纪¬ì学¬É¬y¦æªº°µªk¡A¬O尽¥i¯à从¬YÏú简单©ú¤Fªº­ã则(firstprinciple)¥X发§@为§Ú们±´¨Dªº°_点¡A¦Ó¦Z来ªº数学®a©Mª«²z学®a们¬ã¨s发现¡A屡¦¸从¤@¨Ç给©wªº简单ªº­ã则¥X发¡A§Ú们总¬O³Q¤Þ领¨ì¤F¥¿态¤À¥¬ªº®a门¤f¡A这让¤H·P觉¨ì¥¿态¤À¥¬ªº¬ü§®¡C

达º¸¤åªºªí§Ì°ªº¸顿¬O¥Íª«学®a­Ý统计学®a¡A¥L对¥¿态¤À¥¬«D±`ªº±À±RÉO赞¬ü¡G¡¨§Ú¤L¥G¤£´¿见过¹³误®t§e¥¿态¤À¥¬这¤\¿E发¤H们µL穷·Q¶Hªº¦t©z¯´§Ç¡§¡C当¥N两¦ì伟¤jªº·§²v学®aLevy©MKac³£´¿经说过¡A¥¿态¤À¥¬¬O¥L们¤Á¤J·§²v论ªºªì恋±¡¤H¡A¨ã¦³µL穷ªº¾y¤O¡C¦Û从1919¦~¥H¦Z¡ALevy¬ã¨sªº¥D题¦±´N¬O¥¿态¤À¥¬¡A¥L¤@¦Ó¦A¦A¦Ó¤Tªº¥H¥L为¥X发点¡A¦}¥B屡¦¸坚¨Mªº¤S¦^¨ì¦o......¦pªG¥j§ÆÛK¤Hª¾¹D¥¿态¤À¥¬¡A·Q¥²奥ªL¤Ç´µ¤sªº¯«·µ¨½会¦h¥X¤@个¥¿态¤k¯«¡A¥Ñ¦o来´xºÞ¥@间ªº²V¨P¡C

­n©Ô¤U¥¿态¤À¥¬ªº¯«¯µ­±纱®i现¦oªº¬ü丽¡A»Ý­n°ª²`ªº·§²v论ª¾识¡A¥»¤H¦b数学¤è­±ª¾识浅Á¡¡A¤£¯àÐ`¥ô¡C¥u¯à¦bÌå为¦³­­ªº­S围内尝试±È开¦oªº­±纱ªº¤@¨¤¡C´Ð²ö¥±©M©Ô´¶©Ô´µ¥H抛钢镚ªº§Ç¦C¨D©M为¥X发点¡AªuµÛ¤@条¤p径§â§Ú们²Ä¤@¦¸领¨ì¤F¥¿态¤À¥¬ªº®a门¤f¡A这条¸ô¥s§@¤¤¤ßÌå­­©w²z¡A¦Ó这条¸ô¤W风´º¨q丽¡A许¦h·§²v学®a³£为¤§倾­Ë¡A这条¸ô¦b20¥@纪³Q·§²v学®a们¶V©Ý¶V宽¡C¦Ó¦Z数学®a©Mª«²z学®a们发现¡G条条¦±径³q¥¿态¡CµÛ¦Wªºª«²z学®aE.T.Jaynes¦b¥Lªº¦WµÛ¡mProbabilityTheory¡AtheLogicofScience¡n(¤¤¤å书¦W½译为¡m·§²v论¨I«ä录¡n)¤¤¡A´y绘¤F¥|条³q©¹¥¿态¤À¥¬ªº¤p径¡C¦±径³q«Õ处¡A禅©Ðªá¤ì²`¡A让§Ú们¤@°_来ªY赏¤@¤U¥|条¤p径¤Wªº风´º§a¡C

1.°ª´µªº±À导(1809)

²Ä¤@条¤p径¬O°ª´µ§ä¨ìªº¡A°ª´µ¥H¦p¤U­ã则§@为¤p径ªº¥X发点

误®t¤À¥¬导¥XªºÌå¤j¦üµM¦ô计=ºâ术¥­§¡­È

设¯u­È为\theta¡Ax_1¡A\cdots¡Ax_n为n¦¸独¥ß测¶q­È¡A¨C¦¸测¶qªº误®t为e_i=x_i-\theta¡A

°²设误®te_iªº±K«×¨ç数为f(e)¡A则测¶q­Èªº联¦X·§²v为n个误®tªº联¦X·§²v¡A记为

\begin{equation}L(\theta)=L(\theta;x_1¡A\cdots¡Ax_n)=f(e_1)\cdotsf(e_n)=f(x_1-\theta)\cdotsf(x_n-\theta)\end{equation}

为¨DÌå¤j¦üµM¦ô计¡A¥O



¾ã²z¦Z¥i¥H±o¨ì



¥Og(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}¡A



¥Ñ¤_°ª´µ°²设Ìå¤j¦üµM¦ô计ªº¸Ñ´N¬Oºâ术¥­§¡\bar{x}¡A§â¸Ñ带¤J¤W¦¡¡A¥i¥H±o¨ì

\begin{equation}\label{gauss-derivation}\sum_{i=1}^ng(x_i-\bar{x})=0(*)\end{equation}

(*)¦¡¤¤¨ún=2¡A¦³



¥Ñ¤_¦¹时¦³x_1-\bar{x}=-(x_2-\bar{x})¡A¦}¥Bx_1¡Ax_2¬O¥ô·Nªº¡A¦³¦¹±o¨ì



(*)¦¡¤¤¦A¨ún=m+1¡A¦}¥B­n¨Dx_1=\cdots=x_m=-x¡Ax_{m+1}=mx¡A则¦³\bar{x}=0¡A¦}¥B



©Ò¥H±o¨ì



¦Ó满¨¬¤W¦¡ªº°ß¤@ªº连续¨ç数´N¬Og(x)=cx¡A从¦Ó进¤@¨B¥i¥H¨D¸Ñ¥X



¥Ñ¤_f(x)¬O·§²v¤À¥¬¨ç数¡A§âf(x)¥¿规¤Æ¤@¤U´N±o¨ì¥¿态¤À¥¬¨ç数¡C

2.Herschel(1850)©MMaxwell(1860)ªº±À导

²Ä¤G条¤p径¬O¤Ñ¤å学®aHershcel©Mª«²z学®a麦§J´µ韦(Maxwell)发现ªº¡C1850¦~¡A¤Ñ¤å学®aJohnHerschel¦b对¬P¬Pªº¦ì¸m进¦æ测¶qªº时­Ô¡A»Ý­n¦Ò虑¤G维ªº误®t¤À¥¬¡A为¤F±À导这个误®tªº·§²v±K«×¤À¥¬f(x¡Ay)¡AHerschel设¸m¤F两个­ã则¡G

x轴©My轴ªº误®t¬O¬Û¤¬独¥ßªº¡A§Y误®tªº·§²v¦b¥¿¥æªº¤è¦V¤W¬Û¤¬独¥ß
误®tªº·§²v¤À¥¬¦bªÅ间¤W¨ã¦³±Û转对称©Ê¡A§Y误®tªº·§²v¤À¥¬©M¨¤«×没¦³关¨t
这两个­ã则对¤_Herschel¦Ò虑ªº实际测¶q问题¬Ý°_来³£«Ü¦X²z¡C¥Ñ­ã则1¡A¥i¥H±o¨ìf(x¡Ay)应该¨ã¦³¦p¤U§Î¦¡



§â这个¨ç数转换为Ì姤标¡A¦bÌ姤标¤Uªº·§²v±K«×¨ç数设为g(r¡A\theta)¡A¦³



¥Ñ­ã则2¡Ag(r¡A\theta)¨ã¦³±Û转对称©Ê¡A¤]´N¬O应该©M\thetaµL关¡A©Ò¥Hg(r¡A\theta)=g(r)¡A
综¦X¥H¤W¡A§Ú们¥i¥H±o¨ì



¨úy=0¡A±o¨ìg(x)=f(x)f(0)¡A©Ò¥H¤W¦¡变为



¥O\log[\frac{f(x)}{f(0)}]=h(x)¡A则¦³



从这个¨ç数¤èµ{¤¤®e©ö¨D¸Ñ¥Xh(x)=ax^2¡A从¦Ó¥i¥H±o¨ìf(x)ªº¤@¯ë§Î¦¡¦p¤U



¦Óf(x)´N¬O¥¿态¤À¥¬N(0¡A1/\sqrt{2\alpha)}¡A¦Óf(x¡Ay)´N¬O标­ã¤G维¥¿态¤À¥¬¨ç数¡C



1860¦~¡A§Ú们伟¤jªºª«²z学®a麦§J´µ韦¦b¦Ò虑ÉaÊ^¤À¤lªº运动³t«×¤À¥¬ªº时­Ô¡A¦b¤T维ªÅ间¤¤°ò¤_类¦üªº­ã则±À导¥X¤FÉaÊ^¤À¤l运动ªº¤À¥¬¬O¥¿态¤À¥¬\rho(v_x¡Av_y¡Av_z)\proptoexp\{-\alpha(v_x^2+v_y^2+v_z^2)\}¡C这´N¬OµÛ¦Wªº麦§J´µ韦¤À¤l³t²v¤À¥¬©w«ß¡C¤j®a还记±o§Ú们¦b´¶³qª«²z¤¤学过ªº麦§J´µ韦-ªiº¸兹°ÒÉaÊ^³t²v¤À¥¬©w«ß吗¡H

\begin{eqnarray}\label{maxwell}\begin{array}{lll}F(v)&=&\displaystyle(\frac{m}{2\pikT})^{3/2}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\\&=&\displaystyle(\frac{m}{2\pikT})^{1/2}e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}\times(\frac{m}{2\pikT})^{1/2}e^{-\frac{mv_y^2}{2kT}}\times(\frac{m}{2\pikT})^{1/2}e^{-\frac{mv_z^2}{2kT}}\end{array}\end{eqnarray}

©Ò¥H这个¤À¥¬¨ä实¬O¤T个¥¿态¤À¥¬ªº­¼积¡A§Aªºª«²z¦Ñ师¬O§_§i诉过§A¨ä实这个¤À¥¬´N¬O¤T维¥¿态¤À¥¬¡H¤Ï¥¿§Ú¬O¤@ª½¤£ª¾¹D¡Aª½¨ì¤µ¦~¤~©ú¥Õ

Herschel-Maxwell±À导ªº¯«§®¤§处¦b¤_¡A没¦³§Q¥Î¥ô¦ó·§²v论ªºª¾识¡A¥u¬O°ò¤_ªÅ间¤L¦óªº¤£变©Ê¡A´N±À导¥X¤F¥¿态¤À¥¬¡C

3.Landonªº±À导(1941)

²Ä¤T条¹D¬O¤@¦ì电Éa¤uµ{师¡AVernonD.Landon给¥Xªº¡C1941¦~¡ALandon¬ã¨s³q«H电¸ô¤¤ªº¾¸声电压¡A³q过¤ÀªR经验数Õu¥L发现¾¸声电压ªº¤À¥¬¼Ò¦¡«Ü¬Û¦ü¡A¤£¦Pªº¬O¤À¥¬ªº层级¡A¦Ó这个层级¥i¥H¨Ï¥Î¤è®t\sigma^2来¨è画¡C¦]¦¹¥L±À²z认为¾¸声电压ªº¤À¥¬¨ç数§Î¦¡¬Op(x;\sigma^2)¡C现¦b°²设¦³¤@个¬Û对¤_\sigma¦Ó¨¥«Ü·L¤pªº误®tÊð动e¡Aeªº¤À¥¬¨ç数¬Oq(e)¡A¨º¤\·sªº¾¸声电压¬Ox'=x+e¡CLandon´£¥X¤F¦p¤Uªº­ã则

随Éó¾¸声¨ã¦³稳©wªº¤À¥¬¼Ò¦¡
²Ö¥[¤@个·L¤pªº随Éó¾¸声¡A¤£§ï变¨ä稳©wªº¤À¥¬¼Ò¦¡¡A¥u§ï变¤À¥¬ªº层级(¥Î¤è®t«×¶q)
¥Î数学ªº语¨¥´y­z:¦pªG则¦³

现¦b§Ú们来±À导满¨¬¥H¤W两个­ã则ªº¨ç数p(x;\sigma^2)应该长¦¨Ô£¼Ë¡C«ö·Ó两个随Éó变¶q©Mªº¤À¥¬ªº计ºâ¤è¦¡¡Ax'ªº¤À¥¬¨ç数将¬Oxªº¤À¥¬¨ç数©Meªº¤À¥¬¨ç数ªº¨÷积¡A§Y¦³



§âp(x'-e;\sigma^2)¦bx'处°µ®õ°Ç级数®i开(为¤F¤è«K¡A®i开¦Z§â¦Û变¶q¥Ñx'´À换为x)¡A¤W¦¡¥i¥H®i开为



记p=p(x;\sigma^2)¡A则¦³



对¤_·L¤pªº随ÉóÊð动e¡A§Ú们认为¥L¨ú¥¿­È©ÎªÌ负­È¬O对称ªº¡A©Ò¥H\bar{e}=0¡C©Ò¥H¦³

\begin{equation}\label{landon-x}f(x)=p+\frac{1}{2}\frac{\partial^2p}{\partial^2x}\bar{e^2}+o(\bar{e^2})\end{equation}

对¤_·sªº¾¸声电压¬Ox'=x+e¡A¤è®t¥Ñ\sigma^2¼W¥[为\sigma^2+var(e)=\sigma^2+\bar{e^2}¡A©Ò¥H«ö·ÓLandonªº¤À¥¬¨ç数¼Ò¦¡¤£变ªº°²设¡A·sªº¾¸声电压ªº¤À¥¬¨ç数应该为f(x)=p(x;\sigma^2+\bar{e^2})¡C§âp(x;\sigma^2+\bar{e^2})¦b\sigma^2处°µ®õ°Ç级数®i开¡A±o¨ì

\begin{equation}\label{landon-sigma}\displaystylef(x)=p+\frac{\partialp}{\partial\sigma^2}\bar{e^2}+o(\bar{e^2})\end{equation}

¤ñ较¥H¤Wf(x)ªº两个®i开¦¡¡A¥i¥H±o¨ì¦p¤U°¾·L¤À¤èµ{



¦Ó这个¤èµ{´N¬Oª«²z¤WµÛ¦Wªº扩´²¤èµ{(diffusionequation)¡A¨D¸Ñ该¤èµ{´N±o¨ì



¤S¤@¦¸¡A§Ú们±À导¥X¤F¥¿态¤À¥¬¡I

E.T.Jaynes对¤_这个±À导ªº评ɲ«Ü°ª¡A认为Landonªº±À导¥»质¤W给¥X¤F¦ÛµM¬Éªº¾¸­µ§Î¦¨ªº过µ{¡C¥L«ü¥X这个±À导这°ò¥»¤W´N¬O¤¤¤ßÌå­­©w²zªº¼W¶q¦¡ª©¥»¡A¬Û¤ñ¤_¤¤¤ßÌå­­©w²z¬O¤@¦¸©Ê²Ö¥[©Ò¦³ªº¦]¯À¡ALandonªº±À导¬O¨C¦¸¦b­ì¦³ªº¤À¥¬¤W¥h²Ö¥[¤@个·L¤pªºÊð动¡C
¦Ó¦b这个±À导¤¤¡A§Ú们¬Ý¨ì¡A¥¿态¤À¥¬¨ã¦³¬Û当¦nªº稳©w©Ê¡F¥u­n数Õu¤¤¥¿态ªº¼Ò¦¡¤w经§Î¦¨¡A¥L´N®e©ö继续«O«ù¥¿态¤À¥¬¡AµL论¥~³¡²Ö¥[ªº随Éó¾¸声q(e)¬O¤°¤\¤À¥¬¡A¥¿态¤À¥¬´N¹³¤@个¶Â¬}¤@¼Ë§â这个²Ö¥[¾¸声¦Y±¼¡C

4.³Ì¤jæi©M¥¿态¤À¥¬

还¦³¤@条¯«§®ªº¤p径¬O°ò¤_³Ì¤jæi­ì²zªº¡Aª«²z学®aE.T.Jaynes¦b³Ì¤jæi­ì²z¤W¦³«D±`­«­nªº贡Äm¡A¥L¦b¡m·§²v论¨I«ä录¡n¨½­±对这个¤èªk¦³´y­z©M证©ú¡A没¦³´£¨ì发现ªÌ¡A§Ú¤£ÚÌ认这条¹Dªº发现ªÌ¬O§_¬OE.T.Jaynes¥»¤H¡C

æi¦bª«²z学¤¤¥Ñ来¤w¤[¡A«H®§论ªº创©l¤H­»农(ClaudeElwoodShannon)§â这个·§©À¤Þ¤J¤F«H®§论¡A学习Éó¾¹学习ªº¦P学们³£ª¾¹D¥Ø«eÉó¾¹学习¤¤¦³¤@个«D±`¦n¥Îªº¤À类ºâªk¥s³Ì¤jæi¤À类¾¹¡C­n·Q§âæi©M³Ì¤jæiªº来龙¥h脉说²M·¡¥i¤£®e©ö¡A§Æ±æ§Ú¦Z续¯à¦³时间¾ã²z¤@¤U¡C这条¹Dªº风´º¬O¬Û当独¯Sªº¡AE.T.Jaynes对这条¹D¤]¬O°¾爱¦³¥[¡C

对¤_¤@个·§²v¤À¥¬p(e)¡A§Ú们©w¸q¥Lªºæi为



¦pªG给©w¤@个¤À¥¬¨ç数f(x)ªº§¡­È\mu©M¤è®t\sigma^2(给©w§¡­È©M¤è®t这个条¥ó¡A¤]¥i¥H´y­z为给©w¤@阶­ì点¯x©M¤G阶­ì点¯x¡A这两个条¥ó¬Oµ¥É²ªº)则¦b©Ò¦³满¨¬这两个­­¨îªº·§²v¤À¥¬¤¤¡Aæi³Ì¤jªº·§²v¤À¥¬p(e|\mu¡A\sigma^2)´N¬O¥¿态¤À¥¬N(\mu¡A\sigma^2)¡C

(Todo:´¡¤J证©ú)

E.T.Jaynes显µM对¥¿态¤À¥¬¨ã¦³这¼Ëªº©Ê质Ìå为赞赏¡A¦]为这从«H®§论ªº¨¤«×证©ú¤F¥¿态¤À¥¬ªºÉ¬¨}©Ê¡C¦Ó§Ú们¥i¥H¬Ý¨ì¡Aæiªº¤j¤p¡A¨ú¨M¤_¤è®tªº¤j¤p¡C这¤]®e©ö²z¸Ñ¡A¦]为¥¿态¤À¥¬ªº§¡­È©M±K«×¨ç数ªº§Î状µL关¡A¦Óæiªº¤j¤p¤Ï应·§²v¤À¥¬¤¤ªº«H®§¶q¡A显µM©M±K«×¨ç数ªº§Î状¬Û关¡A¦Ó¥¿态¤À¥¬ªº§Î状¬O¥Ñ¨ä¤è®t¨M©wªº¡C

¦nªº¡A风´ºªY赏暂时§i¤@¬q¸¨¡C©Ò谓横¬Ý¦¨Ìd侧¦¨®p¡A远ªñ°ª§C¦U¤£¦P¡A¥¿态¤À¥¬给¤H们´£¨Ñ¤F¦hÏúªY赏¨¤«×©M·Q¶HªÅ间¡Cªk国µÐ萨级别ªº¤j数学®a庞¥[莱对¥¿态¤À¥¬说过¤@¬q¦³·N«äªº话¡A¤Þ¥Î来§@为这个¤p节ªº结§ô¡G

Physicists believe that the Gaussian law has been proved in mathematics while mathematicianst hink that it was experimentally established in physics.

¡XHenriPoincaré


¥¿态¤À¥¬¬O¤@个¦t©zªº²z¡A¥ô¦ó随Éó过µ{¡A³£会Ê^现¥X¥¿态¤À¥¬¡C


¥¿态¤À¥¬²z论给¤F¡§¦U¥Á±Ú间¤@«ß¥­µ¥¡¨¤@记响«Gªº¦Õ¥ú¡C
¾Ì¤°¤\让³¥蛮¸ò¤å©ú¬O¥­µ¥ªº¡H

¡X¡X§õ¬x§Ó

2013¦~3¤ë3¤é

´¿经¬Û识ªº¥¿态¤À¥¬¡A¥Ñ¤_当时学习ªº¤£¤ã实¡A¨ì¦p¤µ¤Q¦h¦~过¥h¤F¡A¤]®t¤£¦h³£还给¦Ñ师¤F¡C¤£过师¤÷´£°_°ª´µ©M¥¿态¤À¥¬«oª¾¹DÚ̦³¦¹²z¡A¦ý¤£´¿©M¹D联¨t°_来¡C经师¤÷点©Þ¤S©ú¥Õ¤F¤@¨Ç¡C­Y¬O¦p¦¹¡A¨º岂¤£¬O³¥蛮¦p­Y总°l¨D¡§¤@«ß¥­µ¥¡¨¦Ó战争¤£绝¤_¥@¡H当µM战争¥i¥H让¤Hª¾¹D¥¿ÉO¨¸¡A³ßÉO«ã¡A阴ÉO´¸¡A阴ÉO阳¡A¨kÉO¤kµ¥µ¥¡Aµ¥µ¥¡C这´N¬O¦ÛµM......